エキスパート 3章

解説

例年テキストの「3-3」「3-4」に対応する範囲の問題が1題ずつ出題される (全40問中8問)。

3-3 境界表現のデータ構造と局所変形

ウイングドエッジ構造
テキスト066ページの図3.12aのような、向きを考慮した稜線 \(E\)、それに接する左面、右面、始点側と終点側につながる右ウイング、左ウイングをセットにし、頂点データ・稜線データ・面データを表で表わしたもの。
複雑な形状のポリゴンでも、これらの表を使えば面・稜線の接続関係を効率よく調べられる。

非多様体
厳密な定義はテキスト068ページの通り。
出題例でよくあるのは普通の立体 (二多様体) の外に面がくっついていたり、2つの立体が頂点や稜線で接したりしているもの。

オイラーの公式・その拡張版
\(v-e+f=2\)
がオイラーの公式。使われている文字は vertex (頂点), edge (稜線), face (面) の頭文字。

\(v-e+f-r=2(s-h)\)
は穴やくぼみのある立体にも適用できるようにオイラーの公式を拡張したもの。\(r, s, h\) は ring (リング), shell (シェル), hole (穴) の数を意味する (\(r=0, s=1, h=0\) にすると普通のオイラーの公式になる)。

オイラー操作
MEV (Make Edge Vertex) (\(e\) と \(v\) が1ずつ増える), KEV (Kill Edge Vertex, MEVの逆操作)
MEF (Make Edge Face) (\(e\) と \(f\) が1ずつ増える), KEF (Kill Edge Face, MEFの逆操作)

オイラーの公式 \(v-e+f=2\) では \(v, f\) と \(e\) の符号が逆になっているので、どの操作をしても左辺の値は変わらない → オイラーの公式は常に成り立つ

3-4 曲線・曲面

ベジエ曲線
よく出題されるのは3次のベジエ曲線で、この場合は制御点が4つ、係数が \(t\) の3次式であらわされる (テキスト(3.23)式)
n次のベジエ曲線では制御点が n 個、係数は \(t\) の n-1次式になる。
「バーンスタイン基底関数」は \((1-t)+t)^2\) を展開したそれぞれの項にあたる。
この曲線では、最初と最後の制御点は曲線の端点に一致する。

ファーガソン曲線
2つの位置ベクトルと、そこでの接ベクトルで決まる曲線。
曲線は始点側では接ベクトルに沿って始まり、終点側では接ベクトルに刺さるように終わる (テキスト080ページ 図3.29参照)

Bスプライン曲線
制御点とノット列で決まる曲線。
ノット (knot) は「結び目」という意味で、例えばテキスト081ページ 図3.31では \(\boldsymbol{C}(t_3)\)~\(\boldsymbol{C}(t_4)\)、\(\boldsymbol{C}(t_4)\)~\(\boldsymbol{C}(t_5)\),... の部分の曲線はそれぞれの区間の情報だけで決まり、特定の区間の曲線はそれ以外の区間に関わる点を動かしても変わらない (局所性)

有理ベジエ曲線
制御点とそれぞれに対する重みで決まる曲線。
重みをすべて1にすると普通のベジエ曲線になる

NURBS曲線
制御点とそれぞれに対する重み、ノット列で決まる曲線。
ノット列を (0, 0, 0, 1, 1, 1) にすると有理ベジエ曲線になる。

パラメトリック曲線
「ベジエ曲線」「Bスプライン曲線」「有理ベジエ曲線」「NURBS曲線」が満たす性質が、テキスト077ページの表3.1にまとめられている → 暗記

過去問を使った学習

課題

第1回と同様に、1回分(4つの設問)ごとに以下のことを行い、授業終了時に解答用紙を提出する。
  • テキストなどを参照しながら解く
  • 解答・解説のページを見て採点する (a~dのところに○×、間違えたものには正解を赤でマークして、問題名の欄に正解数を書く)
  • 間違えた問題について解答・解説のページの説明とテキストの対応部分を確認する

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