例：2～9の整数からランダムに1つ選び、その結果から以下の事象系を作る。
事象系 \(X\)
事象系 \(Y\)
| 事象 | 条件 | 選んだ数 |
|---|---|---|
| \(x_s\) | 6以下(small) | 2, 3, 4, 5, 6 |
| \(x_b\) | 7以上(big) | 7, 8, 9 |
事象系 \(Y\)
| 事象 | 条件 | 選んだ数 |
|---|---|---|
| \(y_p\) | 素数(prime number) | 2, 3, 5, 7 |
| \(y_c\) | 合成数(composite number) | 4, 6, 8, 9 |
- 合成数 : 自然数で、1とその数自身以外の約数を持つ数のこと。要するに素数でない4以上の整数。
この場合、それぞれの事象系は
\(
X=
\begin{bmatrix}
x_s & x_b \\
\frac{5}{8} & \frac{3}{8}
\end{bmatrix}
\cdots (1)
\)
\( Y= \begin{bmatrix} y_p & y_c \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \cdots(2) \)
\( Y= \begin{bmatrix} y_p & y_c \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \cdots(2) \)
となる。
ここで、事象系 \(X\) の結果が \(x_s\) だったことがわかっている場合の事象系 \(Y\) について考える。
結果は2～6の5パターンに限定され、素数は2, 3, 5の3つ、合成数は4, 6の2つになるので、\(y_p\) が起こる確率は3/5, \(y_c\) が起こる確率は2/5になる。
この場合の事象系 \(Y\) は以下のように書く。
\(
Y(x_s)=
\begin{bmatrix}
y_p|x_s & y_c|x_s \cr
\frac{3}{5} & \frac{2}{5}
\end{bmatrix}
\cdots(3)
\)
一方、事象系 \(X\) の結果が \(x_b\) だったことがわかっている場合は、結果は7～9の3パターンで、素数は7だけ、合成数は8, 9の2つなので、事象系 \(Y\) は次のようになる。
\(
Y(x_b)=
\begin{bmatrix}
y_p|x_b & y_c|x_b \cr
\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{bmatrix}
\cdots(4)
\)
いずれも \(X\) の結果について何も知らなかったときの \(Y\) とは異なった確率になる。
書き方のルール
事象系(左辺)：「確定しているもの」をカッコに入れて書く
事象(右辺の上の行)：事象を表わす文字のあとに縦棒と「確定しているもの」を書く
事象系(左辺)：「確定しているもの」をカッコに入れて書く
事象(右辺の上の行)：事象を表わす文字のあとに縦棒と「確定しているもの」を書く
容易に想像できるように、例えば「サイコロを投げて出た目の6つの事象からなる事象系 \(A\)」と「コインを投げて出た面の2つの事象からなる事象系 \(B\)」のような場合では、\(A\) の結果が確定しても \(B\)の事象系には影響しない。このような場合はこれらの事象系に相関がないという。
こういう表を書けば、一方の結果がわかっているときの事象系を考えるのが楽になる。
| 6以下 | 7以上 | |
|---|---|---|
| 素数 | 2, 3, 5 | 7 |
| 合成数 | 4, 6 | 8, 9 |