「シンボル」を8種類、符号語を3ビットに拡張した場合の平均符号長を \(p\) の関数の形で記述せよ。
\(n_3\) を求めたときと同様に、「シンボル」の平均の長さは
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\(
\begin{eqnarray}
n_7&=&p+2(1-p)p+3(1-p)^2p+4(1-p)^3p+5(1-p)^4p+6(1-p)^5p+7(1-p)^6p+7(1-p)^7\\
&=&\frac{p}{1-p}\Big((1-p)+2(1-p)^2+3(1-p)^3+4(1-p)^4+5(1-p)^5+6(1-p)^6+7(1-p)^7\Big)+7(1-p)^7\\
&=&\frac{p}{1-p}\sum^7_{r=1}r(1-p)^r+7(1-p)^7\\
&=&\frac{\cancel{p}}{\cancel{1-p}}\frac{\cancel{(1-p)}(1-(1-p)^7)}{p^\cancel{2}}-\frac{\cancel{p}}{\cancel{1-p}}\frac{7(1-p)^{7+\cancel{1}}}{\cancel{p}}+7(1-p)^7\\
&=&\frac{1-(1-p)^7}{p}-\cancel{7(1-p)^7}+\cancel{7(1-p)^7}\\
&=&\frac{1-(1-p)^7}{p}
\end{eqnarray}
\)
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となる (3行目から4行目の変形で公式①を使った)。結局、\(n_3\) のときの「3」が「7」に置き換わるだけ。
一方、符号語はいずれも3ビットなので、\(\bar{L}=3\) になる。これらを使えば平均符号長は
\(
\begin{eqnarray}
L&=&\frac{\bar{L}}{n_7}\\
&=&3\times\frac{p}{1-(1-p)^7}\\
&=&\frac{3p}{1-(1-p)^7}
\end{eqnarray}
\)
となる。