情報理論 第7回　反復符号とパリティ検査符号 (1)　練習問題解答例

• 練習問題1
入力が0, 1のどちらの場合も確率 $p=0.1$ で変化する通信路で3倍の反復符号を使い、誤り訂正を行った場合の誤り率を求めよ。また、それが「反復符号を使わずにそのまま送った場合の誤り率」に対して何%の値であるかを求めよ。

①式の $p$ に0.1を入れると、誤り率は
$p^3+3p^2(1-p)={0.1}^3+3\times {0.1}^2\times 0.9=0.001+0.027=0.028$

となり、反復符号を使わない場合の誤り率0.1に対しては
$0.028/0.1\times 100=28(\%)$
になる。

• 練習問題2
入力が0, 1のどちらの場合も確率 $p=0.1$ で変化する通信路で5倍の反復符号を使い、誤り訂正を行った場合の誤り率を求めよ (四捨五入して小数第3位まで)。また、それが「反復符号を使わずにそのまま送った場合の誤り率」に対して何%の値であるかを求めよ。

変化の回数に応じて表をつくると

変化の回数	受け取るもの	確率	復元されるもの
0	00000		0 (正しい)
1	00001, 00010,...(5通り)		0 (正しい)
2	00011, 00101,...(10通り)		0 (正しい)
3	00111, 01011,...(10通り)		1 (誤り)
4	01111, 10111,...(5通り)	$p^4(1-p)$	1 (誤り)
5	11111	$p^5$	1 (誤り)

のようになる。このうち誤った結果になるのは下の3行なので、誤り率は

と表わせる。ここで$p$ に0.1を入れると、誤り率は

となり、反復符号を使わない場合の誤り率0.1に対しては
$0.009/0.1\times 100=9(\%)$
になる。

• 練習問題3
入力が0, 1のどちらの場合も確率 $p=0.1$ で変化する通信路で3倍の反復符号を使い、誤り検出を行った場合の誤り率を求めよ (四捨五入して小数第5位まで)。また、それが「反復符号を使わずにそのまま送った場合の誤り率」に対して何%の値であるかを求めよ (小数第2位まで)。

⑤式の $p$ に0.1を入れると、誤り率は

となり、反復符号を使わない場合の誤り率0.1に対しては
$0.00137/0.1\times 100=1.37(\%)$
になる。

• 練習問題4
入力が0, 1のどちらの場合も確率 $p=0.1$ で変化する通信路で5倍の反復符号を使い、誤り検出を行った場合の誤り率を求めよ (四捨五入して小数第5位まで)。また、それが「反復符号を使わずにそのまま送った場合の誤り率」に対して何%の値であるかを求めよ(小数第2位まで)。

5倍の反復符号では、⑤式相当するものは になる。この $p$ に0.1を入れると、誤り率は

となり、反復符号を使わない場合の誤り率0.1に対しては
$0.00002/0.1\times 100=0.02(\%)$
になる。

• 練習問題5
符号「011110001111」にパリティ検査符号を追加したものを記述せよ。ただし $k=4$ とする。

「0111 1000 1111」のように区切ると、それぞれのブロックには前から順に奇数個、奇数個、偶数個の1が含まれる。よってパリティ検査符号はそれぞれ1, 1, 0になるので、パリティ検査符号を追加されたものは 01111 10001 11110 になる。


• 練習問題6
パリティ検査符号追加済みの以下の符号を受け取ったとき、通信路で変化があったかどうかを判定し、以下のものを解答せよ。ただし $k=3$ とする。
• 変化があった場合 → 「変化あり」と解答
• 変化がなかった場合 → 情報源符号を記述


1. 101001110101
2. 001110011111



1. 101001110101
$k=3$ なので、検査符号追加済みの符号は4つずつ区切る。「1010 0111 0101」のように区切ると、2つ目のブロックの1の数は奇数。→変化あり


2. 001110011111
同様に4つずつ区切ると「0011 1001 1111」となり、どのブロックの1の数も偶数個なので、変化なしと判定される。情報源符号はこれらのブロックの最後のビットを除いた001 100 111 となる。