第08回 通信路 課題解答例

課題1

\(p_{00}=0.8, p_{11}=0.7\) の通信路の通信路線図を描け。

(1)式より \(p_{01}=1-0.8=0.2\), (2)式より \(p_{10}=1-0.7=0.3\) なので、通信路線図はこのようになる。

課題2

課題1の通信路の通信路行列 \(T_4\)を記述せよ。

課題1で求めた値を通信路行列の一般的な形 \(p_{00}\)~\(p_{11}\) に入れれば以下のようになる。
\( T_4= \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 \end{bmatrix} \)

課題3

情報源事象系が \( X= \begin{bmatrix} x_0 & x_1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \) であるとき、2元対称通信路 \(T_1\) を通った出力の事象系 \(Y\) を記述せよ。

\(Y\) の下の行にあたる \(P_y\) は

\( \begin{eqnarray} P_y&&=P_xT_1\\ &&=\left[\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \begin{bmatrix} 1-p && p \\ p && 1-p \end{bmatrix}\\ &&=\left[\frac{1}{2}(1-p)+\frac{1}{2}p,\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}(1-p)\right]\\ &&=\left[\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \end{eqnarray} \)

となるので、出力の事象系は \( \begin{eqnarray} Y&&=\begin{bmatrix} y_0 && y_1 \\ \frac{1}{2} && \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{eqnarray} \) となる。小数で \( \begin{eqnarray} Y&&=\begin{bmatrix} y_0 && y_1 \\ 0.5 && 0.5 \end{bmatrix} \end{eqnarray} \) としても正解。

課題4

情報源事象系 \(X\) が課題3と同じであるとき、通信路 \(T_3\) を通った出力の事象系 \(Y\) を記述せよ。

\(Y\) の下の行にあたる \(P_y\) は

\( \begin{eqnarray} P_y&&=P_xT_3\\ &&=\left[\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \begin{bmatrix} 0.9 && 0.1 \\ 0 && 1 \end{bmatrix}\\ &&=\left[0.45+0,0.05+0.5\right]\\ &&=\left[0.45, 0.55\right] \end{eqnarray} \)

となるので、出力の事象系は \( \begin{eqnarray} Y&&=\begin{bmatrix} y_0 && y_1 \\ 0.45 && 0.55 \end{bmatrix} \end{eqnarray} \) となる。分数で \( \begin{eqnarray} Y&&=\begin{bmatrix} y_0 && y_1 \\ \frac{9}{20} && \frac{11}{20} \end{bmatrix} \end{eqnarray} \) としても正解。
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