第12回 符号多項式を使った検査符号 (1) 課題解答例

課題1

符号「11001011」を符号多項式に置き換えたものを記述せよ。

先頭から順に \(x^7~x^0\) の係数に置き換えて \(x^7 + x^6 + x^3 + x + 1\) となる。

課題2

符号多項式「\(x^6+x^5+x^4+x+1\)」を8ビットの符号に置き換えたものを記述せよ。

明示的に書かれている \(x^6, x^5, x^4, x^1, x^0\) の係数は1, 書かれていない \(x^7, x^3, x^2\) の係数は0なので、 順に符号に置き換えて 01110011 になる。

課題3

符号多項式 \(x^3+x+1\) を \(x+1\) で割ったときの商と余りを記述せよ。

\(x^2\) \(+\) \(x\)
\(x+1\) \()\) \(x^3\) \(+\) \(x\) \(+\) \(1\)
\(x^3\) \(+\) \(x^2\)
\(x^2\) \(+\) \(x\)
\(x^2\) \(+\) \(x\)
\(1\)
\(1\) \(1\) \(0\)
\(11\) \()\) \(1\) \(0\) \(1\) \(1\)
\(1\) \(1\)
\(1\) \(1\)
\(1\) \(1\)
\(1\)
どちらの方法で求めても 商は \(x^2+x\), 余りは \(1\) になる。
特に係数だけで筆算を行う場合は商の一番下を省略してしまわないように注意。「11」だけ書くと商を \(x+1\) と間違えやすい。

課題4

概要の例と同じ条件 (\(k=4\), \(G(x)=x^2+1\)) で、情報源符号「1110」に検査符号を付け加えたものを記述せよ。

情報源符号を符号多項式にすると \(P(x)=x^3+x^2+x\)。
概要と同じく \(m=2\) なので \(x^mP(x)=x^2P(x) = x^5+x^4+x^3\) になる。これを \(G(x)=x^2+1\) で割ると
\(x^3\) \(+\) \(x^2\) \(+\) \(1\)
\(x^2+1\) \()\) \(x^5\) \(+\) \(x^4\) \(+\) \(x^3\)
\(x^5\) \(+\) \(x^3\)
\(x^4\)
\(x^4\) \(+\) \(x^2\)
\(x^2\)
\(x^2\)     \(+\) \(1\)
\(1\)
\(1\) \(1\) \(0\) \(1\)
\(101\) \()\) \(1\) \(1\) \(1\) \(0\) \(0\) \(0\)
\(1\) \(0\) \(1\)
\(1\) \(0\) \(0\)
\(1\) \(0\) \(1\)
\(1\) \(0\) \(0\)
\(1\) \(0\) \(1\)
\(1\)
で、余りは \(R(x)=1\)、よって \(F(x)=x^2P(x)+R(x)=x^5+x^4+x^3+1\) になる。これを符号に置き換えると 111001
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