第12回 符号多項式を使った検査符号 (2) 課題解答例

課題1

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x+1\) (表1との条件) の場合に、情報源符号「0110」に検査符号を付け加えたものを記述せよ。

(1)~(3)式より検査符号のそれぞれの桁の値は
\(x_5=x_1\oplus x_2\oplus x_3=0\oplus1\oplus1=0\)
\(x_6=x_2\oplus x_3\oplus x_4=1\oplus1\oplus0=0\)
\(x_7=x_1\oplus x_2\oplus x_4=0\oplus1\oplus0=1\)

となるので、情報源符号に検査符号を加えたものは 0110001 となる。

課題2

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x^2+1\) (表2の条件)で、(1)~(3)に相当する関係式 (1)'~(3)'を求めよ。

表2より、\(x_5\) は 情報源符号の \(x_2\) 以外の3つを排他的論理和で合成して求められることがわかる。\(x_6, x_7\) も同様に情報源符号の3つから作られる。
\(x_5=x_1\oplus x_3\oplus x_4\cdots(1)'\)
\(x_6=x_1\oplus x_2\oplus x_3\cdots(2)'\)
\(x_7=x_2\oplus x_3\oplus x_4\cdots(3)'\)

排他的論理和「\(\oplus\)」を「\(+\)」と書いてしまうと全く別の意味になるので注意。

課題3

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x+1\) (表1の条件)で符号多項式を使った検査符号を追加し、受信者が符号「1101100」を受け取ったときの情報源符号を記述せよ。ただし、変化は1回以下であるものとし、導出過程も書くこと。

(1)~(3)にこの符号のそれぞれの桁の値を入れてみると、
(1):\(x_1\oplus x_2\oplus x_3=1\oplus1\oplus0=0\neq1\) (\(x_5\) と等しくならない)
(2):\(x_2\oplus x_3\oplus x_4=1\oplus0\oplus1=0=0\) (\(x_6\) と等しい)
(3):\(x_1\oplus x_2\oplus x_4=1\oplus1\oplus1=1\neq0\) (\(x_7\) と等しくならない)

となるので、(2)式に含まれる \(x_2, x_3, x_4, x_6\) は正しく、残りの \(x_1, x_5, x_7\) のどれかが変化したということになる。
1つの符号だけが変化したという前提のもとでは (1), (3) の両方に含まれる \(x_1\) が変化したことが確定できる。
よって、受け取るはずだった符号は「0101100」で、情報源符号は「0101」。

課題4

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x^2+1\) (表2の条件)で符号多項式を使った検査符号を追加し、受信者が符号「1101100」を受け取ったときの情報源符号を記述せよ。ただし、変化は1回以下であるものとし、導出過程も書くこと。

(1)'~(3)'にこの符号のそれぞれの桁の値を入れてみると、
(1)':\(x_1\oplus x_3\oplus x_4=1\oplus0\oplus1=0\neq1\) (\(x_5\) と等しくならない)
(2)':\(x_1\oplus x_2\oplus x_3=1\oplus1\oplus0=0=0\) (\(x_6\) と等しい)
(3)':\(x_2\oplus x_3\oplus x_4=1\oplus0\oplus1=0=0\) (\(x_7\) と等しい)

となるので、(2)', (3)'式に含まれる \(x_1~x_4, x_6, x_7\) は正しく、残りの \(x_5\) が変化したということになる。
よって、受け取るはずだった符号は「1101000」で、情報源符号は「1101」。
課題3, 課題4のどちらも問題文の「情報源符号を記述せよ」に注意。回答すべきものは4ビットの符号。
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