第14回 符号多項式による検査符号 (1) 課題 解答例

課題1

次の符号を符号多項式に置き換えたものを記述せよ。
  1. 11001000
  2. 01010101
  1. \(x^7+x^6+x^3\)
  2. \(x^6+x^4+x^2+1\)

課題2

次の符号多項式を8ビットの符号に置き換えたものを記述せよ。
  1. \(x^7+x^6+x^4+x\)
  2. \(x^5+x^4+x^3+1\)
  1. 1101 0010
  2. 0011 1001

課題3

符号多項式 \(A=x^3+x+1, B=x+1\) について、以下の演算の結果を記述せよ。
  1. \(A+B\)
  2. \(A-B\)
  3. \(A\times B\)
  4. \(A\div B\) (商、余りの両方を求める)

  1. \( \begin{eqnarray} &&A+B\\ =&&x^3+(1+1)x+(1+1)\\ =&&x^3 \end{eqnarray} \)

  2. \( \begin{eqnarray} &&A-B\\ =&&x^3+(1-1)x+(1-1)\\ =&&x^3 \end{eqnarray} \)

  3. \( \begin{eqnarray} &&A\times B\\ =&&(x^3+x+1)x+(x^3+x+1)\\ =&&x^4+x^3+x^2+(1+1)x+1\\ =&&x^4+x^3+x^2+1 \end{eqnarray} \)

  4. 筆算すると次のようになるので、商は \(x^2+x\)、余りは\(1\)

課題4

上の例と同じ条件で、情報源符号「1110」に検査符号を付け加えたものを記述せよ。

  1. 情報源符号は「1110」
  2. 符号多項式に置き換えると \(P(x)=x^3+x^2+x\) になる
  3. これに \(x^2\) をかけると \(x^2P(x)=x^5+x^4+x^3\) になる。それを \(G(x)=x^2+1\) で割ると、余りは \(1\)。(これを \(R(x)\) とする)
  4. 3の結果から、
  5. \( \begin{eqnarray} F(x)&=&x^2P(x)+R(x)\\ &=&x^5+x^4+x^3+1 \end{eqnarray} \)
  6. \(F(x)\) を符号に置き換えると「111001」になる。

課題5

課題4の符号を通信路に通し、途中で変化が起きなかった (つまり \(\tilde{F}(x)=F(x)\) ) 場合に、\(\tilde{F}(x)\) が \(G(x)\) で割り切れることを確認せよ (筆算を書く)。

\(\tilde{F}(x)=x^5+x^4+x^3+1\) を \(G(x)=x^2+1\) で割ると、次のように確かに割り切れる。

課題6

課題4の符号を通信路に通し、前から3番目のビットが変化した場合の \(\tilde{F}(x)\) を \(G(x)\) で割った余りを求めよ (筆算を書く)。

3ビット目が変化して「110001」になると、それを符号多項式にしたものは \(\tilde{F}(x)=x^5+x^4+1\) になる。これを \(G(x)=x^2+1\) で割ると以下のようになり、余りは \(x\) (割り切れない)。
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