第15回 符号多項式による検査符号 (2) 課題解答例

課題1

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x+1\) (上の概要と同じ条件) の場合に、以下の情報源符号に検査符号を加えたものを記述せよ。
  1. 0110
  2. 1111
  1. 0110
  2. \(x_5=1\oplus1=0\)
    \(x_6=1\oplus1=0\)
    \(x_7=1\oplus0=1\)
    なので 0110 001 になる。

  3. 1111
  4. \(x_5=1\oplus1\oplus1\oplus0=1\)
    \(x_6=1\oplus0\oplus1\oplus1=1\)
    \(x_7=1\oplus1\oplus0\oplus1=1\)
    なので 1111 111 になる。

課題2

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x^2+1\) の場合に、1000, 0100, 0010, 0001に検査符号を追加したものを記述せよ。

最初の例と同様、1000, 0100, 0010, 0001を符号多項式に置き換えて \(x^3\) をかけたものはそれぞれ \(x^6, x^5, x^4, x^3\) になる。これらを \(G(x)=x^3+x^2+1\) で割ると
 
 

となるので、この余りを検査符号に使うと、検査符号を付け加えたものは

課題3

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x^2+1\) の場合に、課題1の2つの情報源符号に検査符号を追加したものを求めよ。

課題2より、情報源符号に検査符号を付け加えると
となる。これらを組み合わせれば
  1. 0110
  2. \(x_5=0\oplus1=1\)
    \(x_6=1\oplus1=0\)
    \(x_7=1\oplus1=0\)
    なので 0110 100 になる。

  3. 1111
  4. \(x_5=1\oplus0\oplus1\oplus1=1\)
    \(x_6=1\oplus1\oplus1\oplus0=1\)
    \(x_7=0\oplus1\oplus1\oplus1=1\)
    なので 1111 111 になる。

課題4

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x+1\) (課題1, 上の概要と同じ条件)で、以下の符号を受け取ったときの情報源符号を記述せよ。ただし、変化は1回以下であるものとする。
  1. 1111000
  2. 0101110
  1. 1111000
  2. (1):\(x_1\oplus x_2\oplus x_3=1\oplus1\oplus1=1\neq0\) (\(x_5\) と等しくならない)
    (2):\(x_2\oplus x_3\oplus x_4=1\oplus1\oplus1=1\neq0\) (\(x_6\) と等しくならない)
    (3):\(x_1\oplus x_2\oplus x_4=1\oplus1\oplus1=1\neq0\) (\(x_7\) と等しくならない)
    で、3つとも成り立たない。どれか1つだけが変化してこうなるのは、3つの式すべてに存在する \(x_2\) が変化したときだけ。つまり、受け取るはずだった符号は 1011000 であり、情報源符号は 1011

  3. 0101110
  4. (1):\(x_1\oplus x_2\oplus x_3=0\oplus1\oplus0=1=1\) (\(x_5\) と等しい)
    (2):\(x_2\oplus x_3\oplus x_4=1\oplus0\oplus1=0\neq1\) (\(x_6\) と等しくならない)
    (3):\(x_1\oplus x_2\oplus x_4=0\oplus1\oplus1=0=0\) (\(x_7\) と等しい)
    で、(1)と(3)が成り立つので \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_7\) が等しいことが保証される。残った \(x_6\) が変化した符号。受け取るはずだった符号は 0101100 であり、情報源符号は 0101

課題5

\(k=4\), \(G(x)=x^3+x^2+1\) (課題2と同じ条件)で、(1)~(3)に相当する関係式を求めよ。

課題2の結果から、
\(x_5=x_1\oplus x_3\oplus x_4 \cdots(1)'\)
\(x_6=x_1\oplus x_2\oplus x_3 \cdots(2)'\)
\(x_7=x_2\oplus x_3\oplus x_4 \cdots(3)'\)
となる。
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